las mates entretenidas: razones trigonometyricas de los triangulos

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo se denominan como sigue, con respecto a uno de los ángulo agudos:

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo.
El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo agudo considerado.
El cateto adyacente es el cateto que forma el ángulo agudo considerado.

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo al tener la longitud de dos lados cualesquiera.

Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la de la hipotenusa.

$\theta = \arcsin \left( \frac{\color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}{\color{Red}\textrm{hipotenusa}} \right)$

Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa.

$\theta = \arccos \left( \frac{\color{Blue}\textrm{adyacente}}{\color{Red}\textrm{hipotenusa}} \right)$

Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la del cateto adyacente.

$\theta = \arctan \left( \frac{\color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}{\color{Blue}\textrm{adyacente}} \right)$

En los cursos introductorios de geometría y trigonometría, la notación sin⁻¹, cos⁻¹, etc., es frecuentemente utilizada en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notación de arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superiores donde las funciones trigonométricas son comúnmente elevadas a potencias, pues esto evita la confusión entre el inverso multiplicativo y la función inversa. Seno, coseno y tangente

El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.

$\text{sen} \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {c}.$

El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.

$\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {c}.$

La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente.

$\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.$

Nota: Los cocientes de las tres relaciones anteriores no dependen del tamaño del triángulo rectángulo.

Elementos notables de un triángulo

Mediana

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama mediana.^[4]

Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto -punto G- llamado centroide o baricentro del triángulo.^[5]

Cada una de las tres medianas divide al triángulo en dos triángulos de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice es 2/3 de la longitud de la mediana.

Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.

Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, un cuarto elemento desconocido (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla):

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )

$M_a=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-a^2}$

$M_b=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-b^2}$

$M_c=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-c^2}$

$a=\sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-4 M_a^2}$ $b=\sqrt{\frac{a^2}{2}-c^2+2 M_a^2}$ $c=\sqrt{\frac{a^2}{2}-b^2+2 M_a^2}$

$a=\sqrt{\frac{b^2}{2}-c^2+2 M_b^2}$ $b=\sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-4 M_b^2}$ $c=\sqrt{-a^2+\frac{b^2}{2}+2 M_b^2}$

$a=\sqrt{-b^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2}$ $b=\sqrt{-a^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2}$ $c=\sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-4 M_c^2}$

( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: M_a, M_b y M_c )^[6] — ( Semilados: m_a=n_a = ½ a , m_b=n_b = ½ b y m_c=n_c = ½ c ).

Mediatríz y circunferencia circunscrita
Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado trazada por su punto medio (también llamada simetral). El triángulo tiene tres mediatrices, una por cada uno de sus lados $[AB]$ , $[AC]$ y $[BC]$ .
Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto $O$ equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro $O$ y radio $OA$ que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunferencia circunscrita al triángulo, y su centro se denomina circuncentro.^[7]

En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.

En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.

En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.

Propiedad

Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el punto medio de su hipotenusa.

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martes, 17 de julio de 2012

razones trigonometyricas de los triangulos