las mates entretenidas: congruencia y semejanza de triangulos

Congruencia de triángulos

Artículo principal: Congruencia de triángulos.

Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo

Postulados de congruencia

Triángulo	Postulados de congruencia
	Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.
	Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).
	Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

Teoremas de congruencia

Triángulo	Teoremas de congruencia
	Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado)Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

Congruencia de triángulos rectángulos

Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.
Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto y un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

] Semejanza de triángulos

Artículo principal: Triángulos semejantes.

Criterio AA (Ángulo, Ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes.
Criterio LAL (Lado, Ángulo, Lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.
Criterio LLL (Lado, Lado, Lado). Si sus tres lados son proporcionales.

Semejanza de triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen con al menos uno de los criterios siguientes:

Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.
Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.
Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

Propiedades de los triángulos

Un cuadrilátero con sus diagonales.

Un tetraedro.

Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices.
El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un triángulo (tanto en el plano como en el espacio).
Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene un cuadrilátero que puede ser dividido en triángulos como el de la figura de la izquierda. En cambio, si el cuarto punto agregado es no coplanar y no alineado, se obtiene un tetraedro que es el poliedro más simple y está conformado por 4 caras triángulares.
Todo polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra por triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para ésta división es $n-2$ , donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.
En geometría euclidiana^[2] la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale a π radianes:

la suma de los angulos internos de un triangulo es 180º

$\alpha +\beta +\gamma =180 {}^{\circ}=\pi$

La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.

Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180 ° (o π radianes). En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180 °.
Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.

Otras propiedades

La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados ó $\pi$ radianes.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

$\frac{a}{\operatorname{sen}(\alpha\,)} = \frac{b}{\operatorname{sen}(\beta\,)} = \frac{c}{\operatorname{sen}(\gamma\,)}$

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que establece: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

$a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos(\alpha\,)\,$

$b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos(\beta\,)\,$

$c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos(\gamma\,)\,$

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

$c^2 = b^2 + a^2 \,$

$a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos(\alpha\,)\,$

$b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos(\beta\,)\,$

$c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos(\gamma\,)\,$

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

$c^2 = b^2 + a^2 \,$

Centros del triángulo

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

Baricentro o Centroide: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad

Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.

Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.

Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.

Exincentros son los centros de las circunferencias exinscritas.^[3] Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.

El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

las mates entretenidas

martes, 17 de julio de 2012

congruencia y semejanza de triangulos