las mates entretenidas: julio 2012

martes, 17 de julio de 2012

....¡ya dado el tema completo de triamgulos procederemos a desarrollar la siguiente practica!......

Triángulos Congruentes y Triángulos Similares

1. El perímetro de un triangulo ABC es 80 cm. Se tiene otro triangulo MNP cuyos lados son

2, + 3

y 3 + 5. Hallar el valor de m si se sabe que ABC y MNP son congruentes.

2. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son congruentes?

3. Los triángulos ABC y DEF mostrados a continuación son congruentes. Determinar el valor de

DE+EF.

4. Si un árbol de 20 metros proyecta una sombra de 48 metros. ¿Qué sombra proyectará un árbol

de 30 metros?

5. Hallar el valor de x+y:

sobre sus funciones trigonometricas

Una cuerda de 60m se estira desde la parte superior de un poste hasta el suelo, formando con éste un ángulo de 39°. Hallar la altura del poste y la distancia del pie de éste, al lugar donde la cuerda toca el suelo. Sol. 37,76 y 46,62 m
La base de un triángulo isósceles es 40m, su altura 23,836m, calcular el valor de los ángulos de la base. Sol. A = 50°, C = 50°
En un rectángulo las diagonales forman un ángulo de 120°. Hallar su área sabiendo que cada diagonal mide 20m. Sol. 173,2 m²
Hallar la altura con respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que la diferencia de sus ángulos agudos es de 18° y que el cateto opuesto al ángulo mayor mide 4m. Sol. 2,35 m.
En el triángulo rectángulo ABC, se conoce el ángulo B = 60°, y la hipotenusa BC = h. Calcular el área del triángulo en función de h. Sol.
Dos árboles A y B se encuentran cada uno en las riberas opuestas de un río no navegable. Una casa C está en la misma ribera de A pero a una distancia de 136m. El segmento CA es perpendicular al lado AB. Hallar la distancia entre los dos árboles si se sabe que el ángulo ACB es igual a 60°. Sol. 235.56m
Un árbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman con el suelo un triangulo rectángulo. La parte superior forma un ángulo de 30° con el piso y la distancia medida sobre el piso, desde el tronco hasta la cúspide caída del árbol es de 5m. ¿Hallar la altura que tenía el árbol? Sol. 8,66m
Calcular la distancia a que se encuentra un observador, cuando el ángulo de elevación de la cúspide de un monumento de 50m de altura es de 32°. Sol. 80,01 m.
El ángulo de depresión de una línea férrea a 200m, desde una colina es de 40°. Calcular la altura de la colina. Sol. 128,56m
Una escalera de 13,5m de longitud, llega justamente hasta la parte superior de un muro. Si la escalera forma un ángulo de 60° con el muro, hállese la altura y la distancia a él del pie de la escalera. Sol. 6,75m y 11,69m
Calcular la longitud de la sombra que proyecta un árbol de 24m. de altura, a las 8 de la mañana. Sol. 41,57m
Calcular la altura de un edificio que a las 8 de la mañana proyecta una sombra de 30m. Sol. 17,32m
Desde un edificio de 20m se divisa una torre con un ángulo de elevación de 30° y la base de la torre con un ángulo de depresión de 60°. Hallar la altura de la torre. Sol. 26,66m.
De un punto el ángulo de elevación a una torre es de 30°; avanzando 150m hacia la torre el ángulo de elevación es de 60°. Calcular la distancia del primer punto al pie de la torre. Sol. 225m
Desde la parte superior de un faro de 45m de altura, los ángulos de depresión de dos botes, situados al norte del observador en el mar, son de 30° y 15°, respectivamente. ¿Qué distancia hay entre un bote y otro, sabiendo que botes y faro están en el mismo plano vertical? Sol. 90m
Desde un edificio dos personas observan un auto que está estacionado; uno que está en una ventana lo observa bajo un ángulo de 30° y el otro que está en la azotea lo observa bajo un ángulo de 45°, si el auto está en el mismo plano vertical con los observadores y la altura de la ventana a la azotea es de 7,30m. Hallar la distancia horizontal que hay desde el auto hasta el pie del edificio. Sol. 17,30m

razones trigonometyricas de los triangulos

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

En triángulos rectángulos, las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente pueden ser usadas para encontrar los ángulos y las longitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo se denominan como sigue, con respecto a uno de los ángulo agudos:

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Es el lado más largo de un triángulo rectángulo.
El cateto opuesto es el lado opuesto al ángulo agudo considerado.
El cateto adyacente es el cateto que forma el ángulo agudo considerado.

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas inversas pueden ser usadas para calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo al tener la longitud de dos lados cualesquiera.

Arcsin (arcoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la de la hipotenusa.

$\theta = \arcsin \left( \frac{\color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}{\color{Red}\textrm{hipotenusa}} \right)$

Arccos (arcocoseno) puede ser usado para calcular un ángulo con la longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa.

$\theta = \arccos \left( \frac{\color{Blue}\textrm{adyacente}}{\color{Red}\textrm{hipotenusa}} \right)$

Arctan (arcotangente) puede ser usada para calcular un ángulo con la longitud del cateto opuesto y la del cateto adyacente.

$\theta = \arctan \left( \frac{\color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}{\color{Blue}\textrm{adyacente}} \right)$

En los cursos introductorios de geometría y trigonometría, la notación sin⁻¹, cos⁻¹, etc., es frecuentemente utilizada en lugar de arcsin, arccos, etc. Sin embargo, la notación de arcsin, arccos, etc., es estándar en matemáticas superiores donde las funciones trigonométricas son comúnmente elevadas a potencias, pues esto evita la confusión entre el inverso multiplicativo y la función inversa. Seno, coseno y tangente

El seno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.

$\text{sen} \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {c}.$

El coseno de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.

$\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {c}.$

La tangente de un ángulo es el cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente.

$\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.$

Nota: Los cocientes de las tres relaciones anteriores no dependen del tamaño del triángulo rectángulo.

Elementos notables de un triángulo

Mediana

El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto se llama mediana.^[4]

Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto -punto G- llamado centroide o baricentro del triángulo.^[5]

Cada una de las tres medianas divide al triángulo en dos triángulos de áreas iguales. La distancia entre el baricentro y un vértice es 2/3 de la longitud de la mediana.

Las tres medianas dividen al triángulo en 6 triángulos de áreas iguales.

Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), éstas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, un cuarto elemento desconocido (los elementos en cuestión son lados y medianas). La siguiente tabla muestra un resumen de las mismas (con notación acorde a la figura de la propia tabla):

Triángulos — Medianas ( fórmulas prácticas II )

$M_a=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-a^2}$

$M_b=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-b^2}$

$M_c=\frac{1}{2} \sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-c^2}$

$a=\sqrt{2 \left(b^2+c^2\right)-4 M_a^2}$ $b=\sqrt{\frac{a^2}{2}-c^2+2 M_a^2}$ $c=\sqrt{\frac{a^2}{2}-b^2+2 M_a^2}$

$a=\sqrt{\frac{b^2}{2}-c^2+2 M_b^2}$ $b=\sqrt{2 \left(a^2+c^2\right)-4 M_b^2}$ $c=\sqrt{-a^2+\frac{b^2}{2}+2 M_b^2}$

$a=\sqrt{-b^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2}$ $b=\sqrt{-a^2+\frac{c^2}{2}+2 M_c^2}$ $c=\sqrt{2 \left(a^2+b^2\right)-4 M_c^2}$

( Lados: a, b y c ) — ( Medianas: M_a, M_b y M_c )^[6] — ( Semilados: m_a=n_a = ½ a , m_b=n_b = ½ b y m_c=n_c = ½ c ).

Mediatríz y circunferencia circunscrita
Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado trazada por su punto medio (también llamada simetral). El triángulo tiene tres mediatrices, una por cada uno de sus lados $[AB]$ , $[AC]$ y $[BC]$ .
Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes en un punto $O$ equidistante de los tres vértices. La circunferencia de centro $O$ y radio $OA$ que pasa por cada uno de los tres vértices del triángulo es la circunferencia circunscrita al triángulo, y su centro se denomina circuncentro.^[7]

En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.

En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.

En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.

Propiedad

Un triángulo es rectángulo si y sólo si el centro de su circunferencia circunscrita es el punto medio de su hipotenusa.

congruencia y semejanza de triangulos

Congruencia de triángulos

Artículo principal: Congruencia de triángulos.

Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo

Postulados de congruencia

Triángulo	Postulados de congruencia
	Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado)Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.
	Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo)Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).
	Postulado LLL (Lado, Lado, Lado)Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

Teoremas de congruencia

Triángulo	Teoremas de congruencia
	Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado)Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.

Congruencia de triángulos rectángulos

Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro.
Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto y un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

] Semejanza de triángulos

Artículo principal: Triángulos semejantes.

Criterio AA (Ángulo, Ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes.
Criterio LAL (Lado, Ángulo, Lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.
Criterio LLL (Lado, Lado, Lado). Si sus tres lados son proporcionales.

Semejanza de triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen con al menos uno de los criterios siguientes:

Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.
Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.
Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

Propiedades de los triángulos

Un cuadrilátero con sus diagonales.

Un tetraedro.

Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices.
El triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un triángulo (tanto en el plano como en el espacio).
Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene un cuadrilátero que puede ser dividido en triángulos como el de la figura de la izquierda. En cambio, si el cuarto punto agregado es no coplanar y no alineado, se obtiene un tetraedro que es el poliedro más simple y está conformado por 4 caras triángulares.
Todo polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra por triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para ésta división es $n-2$ , donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.
En geometría euclidiana^[2] la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale a π radianes:

la suma de los angulos internos de un triangulo es 180º

$\alpha +\beta +\gamma =180 {}^{\circ}=\pi$

La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.

Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180 ° (o π radianes). En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180 °.
Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.

Otras propiedades

La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados ó $\pi$ radianes.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

$\frac{a}{\operatorname{sen}(\alpha\,)} = \frac{b}{\operatorname{sen}(\beta\,)} = \frac{c}{\operatorname{sen}(\gamma\,)}$

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que establece: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

$a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos(\alpha\,)\,$

$b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos(\beta\,)\,$

$c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos(\gamma\,)\,$

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

$c^2 = b^2 + a^2 \,$

$a^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos(\alpha\,)\,$

$b^2=a^2+c^2-2ac \cdot \cos(\beta\,)\,$

$c^2=a^2+b^2-2ab \cdot \cos(\gamma\,)\,$

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

$c^2 = b^2 + a^2 \,$

Centros del triángulo

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

Baricentro o Centroide: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad

Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.

Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.

Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.

Exincentros son los centros de las circunferencias exinscritas.^[3] Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos.

El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

los triangulos (comvencion y clasificacion)

los triángulos y sus medidas

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Convención de escritura

Triángulo: ABC. Lados: a, b, c. Ángulos: $\widehat{\alpha}, \widehat{\beta}, \widehat{\gamma} \,$ .

Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C,...
Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.
Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC.
Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: $a$ para BC, $b$ para AC, $c$ para AB.
La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el extremo O es $\widehat{POQ} .\,$
También es posible utilizar una letra minúscula -habitualmente una letra griega- coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en el ejemplo se pueden observar los ángulos:

$\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} ,\ \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} ,\ \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} . \,$

**Triángulos — Resumen de convenciones de designación**
Vértices	$\text{A}$	$\text{B}$	$\text{C}$
*Lados (como segmento)*	$\text{BC}$	$\text{AC}$	$\text{AB}$
*Lados (como longitud)*	$a$	$b$	$c$
Ángulos	$\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC}$	$\widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC}$	$\widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB}$

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo equilátero son del mismo tamaño (los tres ángulos internos miden 60 grados ó $\pi/3\,$ radianes.)

Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales¹ ),

Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).